Квантовая механика.

В начале целесообразно коротко очертить основные положения и задачи квантовой механики.

Квантовая кинематика.

Квантовая механика изучает квантовые системы и решает три главные задачи.

  1. Определение возможных значений квантовых наблюдаемых (определение спектра операторов, соответствующих наблюдаемым).
  2. Вычисление вероятности того или иного значения квантовых наблюдаемых в заданной квантовой системе.
  3. Решение уравнений, описывающих изменение системы во времени.

Принадлежность частицы к определенному чистому квантовому состоянию характеризуется в квантовой механике волновой функцией .

Волновая функция есть функция полного набора величин, который мы обозначим через x. (Здесь под x не следует понимать обязательно координату или координаты. Этой буквой обозначается любая совокупность переменных, дискретных или непрерывных, образующих полный набор.)

Число величин, входящих в полный набор, определяется свойствами системы и равно числу ее степеней свободы. В зависимости от выбора набора величин, являющихся аргументами волновой функции, говорят о том или ином (кинематическом) представлении.

Квантовое состояние, описываемое определенной волновой функцией, называется чистым. Состояние, не имеющее определенной волновой функции, называют смешанным. Оно характеризуется матрицей плотности.

Основное свойство чистых квантовых состояний выражается в принципе суперпозиции: если два возможных чистых состояния изображаются волновыми функциями и , то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией , где и - произвольные амплитуды.

Далее, все соотношения между наблюдаемыми выражаются в квантовой механике на языке линейных, самосопряженных операторов таким путем, что каждой классической наблюдаемой , описываемой функциями от координат и импульсов, сопоставляется изображающий ее линейный, самосопряженный оператор .

Квантовые наблюдаемые, описываемые операторами, связываются с измеримыми величинами с помощью формулы, определяющей среднее значение величины в состоянии . Эта формула имеет вид

При условии нормировки

Символом обозначается скалярное произведение и , которое в случае непрерывных переменных имеет вид интеграла

а в случае дискретных переменных вид суммы

Это определение среднего позволяет найти спектр величины, то есть возможные ее значения. Для этого разыскиваются состояния (!), в которых величина имеет только одно определенное значение, то есть такие состояния, в которых дисперсия этой величины равна нулю. Это требование (для чистых состояний) ведет к уравнению для собственных функций оператора:

Отсюда находим спектр (непрерывный или дискретный) и соответствующие собственные состояния . Принимается (постулируется), что собственные значения оператора и суть те значения величины , которые наблюдаются на опыте.

Так как собственные функции образуют ортогональную систему функций, то любая волновая функция может быть разложена в спектр по собственным функциям :

(1)

где

(2)

а знак суммы должен пониматься как знак интеграла, если спектр непрерывный. (Интегральная форма записи является более общей. Интеграл превращается в сумму, если использовать дельта-функцию

Это спектральное разложение фактически осуществляется в устройстве, которое разлагает ансамбль по подансамблям , в частности, в измерительном приборе определяющем величину .

Вероятность найти значение величины равным в ансамбле, характеризуемом волновой функцией , равна . В случае непрерывного спектра есть плотность вероятности.

С другой стороны, есть волновая функция того же ансамбля, но взятая в -представлении. Иначе говоря, функция и изображают один и тот же квантовый ансамбль. В этой связи формулы (1) и (2) могут рассматриваться как преобразования волновой функции от одних переменных к другим с помощью унитарного оператора , матричные элементы которого равны .