Задача 6.
Найти решения уравнения Шредингера для электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и шириной
.Решение.
Определим вид потенциального поля в условиях задачи: при
; ∞ при , .Таким образом, все пространство -∞ < < ∞ разбито на три области: I, II, III. По условию задачи электрон находится в области II. Поскольку потенциальная яма имеет бесконечно высокие стенки, то электрон не может выйти за ее пределы, т.е. вероятность обнаружить электрон в областях I и III равна нулю:
и .
Из условия непрерывности волновой функции следует, что на границах потенциального поля в точках и
; (1)
Соотношения (1) называются граничными условиями. Уравнение Шредингера для движения электрона в области II имеет вид:
. (2)
Уравнение (2) соответствует движению свободной частицы, т.к. в области потенциальное поле равно нулю . Введем обозначение
(3)
С учетом (3) уравнение (2) запишем в виде:
. (4)
Решением уравнения (4) с граничными условиями (1) будут функции:
, (5)
где и - некоторые постоянные, определяемые из граничных условий (1). Отсюда при , функция и константа
.Подставляя в (5) , находим , т.е. . Поскольку , то . Тогда
, (6)
где . Из соотношений (3) и (6) находим возможные значения энергии электрона:
. (7)
Таким образом, граничные условия выполняются лишь для дискретного ряда значений энергии . Следовательно, из решения уравнения Шредингера следует, что частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретный спектр энергий.
Решения уравнения (4) в виде , отвечающие значениям энергии частицы , можно записать с учётом (6) в виде:
. (8)
Постоянную
найдём из условия нормировки:.
Подставляя (8) в это соотношение, будем иметь
.
Следовательно,
.Для волновой функции получим нормированное выражение
.
а) б)
Состояния электронов, описываемые этой функцией, являются стационарными состояниями. На рис.2 приведены графики (а) значений энергии (б) волновых функций и (в) плотностей распределения вероятности . График характеризует распределение вероятности обнаружения электрона в том или ином месте внутри ямы при различных значениях энергии электрона. Как видно из рисунка, в низшем энергетическом состоянии n=1 (основное состояние) с наибольшей вероятностью можно найти электрон около середины ямы, а вероятность найти его у стенок равна нулю. Этот результат резко отличается от того, который можно ожидать для макроскопической частицы. Классическую частицу с равной вероятностью можно найти в любом месте пространства, так как кривая распределения плотности вероятности для нее должна идти параллельно оси абсцисс.