====== Seminars of Computer Algebra, 2009-2010 ====== =====Seminar on Computer Algebra, April 28===== //**Wednesday, April 28, at 16.20 in room 782 of VMK building of Moscow State University**// ====Regularized method for function recovering from noisy values of its partial derivatives on the grid==== // M.G. Kokotchikova, D.S. Kulyabov, L.A. Sevastianov (Peoples' friendship university of Russia, Moscow)// We are solving an unstable problem of function on the circle recovering from its partial derivatives measured with noise on the grid of Hartmann diaphragm T = {t_1, t_2, ..., t_k}\in Q. Because of the optical peculiarity of the recovering problem we use Zernike polynomials forming orthonormal basis in the Hilbert space L_2(Q). We solve the inverse problem with respect to the map D: C^1(Q) \to L_2 \prod L_2, provided that derivatives are measured with noise on the grid. For a stable recovering the Tikhonov’ regularization method was used. On its basis we have elaborated optimized for the problem symbolic-numeric method of constructing the matrix of stabilizing functional, the method was realized in computer algebra systems Axiom and Matlab. ---- ====Регуляризованный метод восстановления функции по зашумленным значениям её производных в точках сетки==== //М.Г. Кокотчикова, Д.С. Кулябов, Л.А. Севастьянов. (Российский университет дружбы народов, Москва)// В работе решается задача неустойчивого восстановления функции, заданной на круге Q по измеренным с погрешностью значениям производных в точках сетки T = {t_1, t_2, ..., t_k}\in Q, диафрагмы Гартмана. В силу оптической специфики задачи для восстановления функции целесообразно воспользоваться полиномами Цернике, образующими ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L_2(Q). Решается обратная задача по отношению к отображению D: C^1(Q) \to L_2 \prod L_2, при условии, что измеряются возмущенные частные производные на сетке. Для устойчивого восстановления был применен метод регуляризации А. Н. Тихонова, на основе которого был разработан оптимизированный для данной задачи символьно-численный метод построения матрицы стабилизирующего функционала, реализованный в системах символьных вычислений Axiom и Matlab. ---- =====Seminar on Computer Algebra, March 17===== //**Wednesday, March 17, at 17.00 in room 225-1 of LKVE building of SINP of Moscow State University**// ====Development of symbolic-numerical algorithms for solving the low-dimensional boundary-value problems of quantum mechanics by Kantorovich method - by reduction to ordinary differential equations==== // A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar, V.A. Rostovtsev (Joint Institute for Nuclear Research & Dubna International University of Nature, Society and Man, Dubna)// We present the current status of development of symbolic-numerical algorithms for solving the elliptic boundary-value problems by Kantorovich method for impurity states in models of quantum dots, wires and wells in an effective mass approximation with parabolic confinement potential of harmonic oscillator and infinitely-high walls. A rate of convergence of the method and efficiency of the proposed problem-oriented program complex, realized by the asymptotic methods and the finite-element method, is demonstrated on examples of calculation of spectral characteristics of the models using a different type of parametric basis functions, including test examples of exact solvable models. In the present time a program realization is carried out in Maple-Fortran platform, and, in perspective, will be transferred to MATEMATICA-DELPHI platform and etc. ---- ====Разработка символьно-численных алгоритмов решения низкоразмерных краевых задач квантовой механики методом Канторовича - приведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям ==== //А.А.Гусев, С.И.Виницкий, О.Чулуунбаатар, В.А. Ростовцев. (Объединённый институт ядерных исследований и Международный университет природы, общества и человека, Дубна)// Представлено текущее состояние разработки символьно-численных алгоритмов решения эллиптических задач методом Канторовича для примесных состояний в моделях квантовых точек, квантовых проволок и ям в приближении эффективной массы с ограничивающими потенциалами гармонического осциллятора и бесконечно высокой стенки. Скорость сходимости метода и эффективность разрабатываемого проблемно-ориентированного комплекса программ, реализующих асимптотические методы и метод конечных элементов, демонстрируется примерами вычисления спектральных характеристик моделей используя различные типы параметрических базисных функций, включая точно-решаемые модели. В настоящее время программная реализация выполняется в среде MAPLE-FORTRAN и в перспективе - трансформироваться в среде типа MATEMATICA-DELPHI и др. ---- =====Seminar on Computer Algebra, February 24===== //**Wednesday, February 24, at 16.20 in room 782 of VMK of Moscow State University**// ====Valuations of rational solutions of linear difference equations at irreducible polynomials==== //A. Gheffar (Limoges university, CNRS), S. Abramov (Computing Centre of the Russian Academy of Sciences)// We discuss two algorithms which, given a linear difference equation with rational function coefficients over a field $k$ of characteristic $0$, construct a finite set $M$ of polynomials, irreducible in $k[x]$, such that if the given equation has a solution $F(x)\in k(x)$ and $\val _{p(x)}F(x)<0$ for an irreducible $p(x)$, then $p(x)\in M$. After this for each $p(x)\in M$ the algorithms compute a lower bound for $\val _{p(x)}F(x)$, which is valid for any rational function solution $F(x)$ of the initial equation. The algorithms are applicable to scalar linear equations of arbitrary orders as well as to linear systems of first-order equations. The algorithms are based on a combination of renewed approaches used in earlier algorithms for finding a universal denominator (Abramov, Barkatou), and on a bound for the denominator (van Hoeij). A complexity comparison of the two proposed algorithms is presented. ---- ====Порядки рациональных решений разностных уравнений относительно неприводимых полиномов==== //А. Геффар (Лиможский университет), С.Абрамов (ВЦ РАН)// Обсуждаются два алгоритма, которые для данного линейного разностного уравнения с коэффициентами в виде рациональных функций над полем $k$ характеристики $0$ строят конечное множество $M$ неприводимых в $k[x]$ полиномов, такое, что если данное уравнение имеет решение $F(x)\in k(x)$ и при этом $\val _{p(x)}F(x)<0$ для неприводимого $p(x)$, то $p(x)\in M$. Затем каждый из алгоритмов вычисляет некоторую нижнюю границу для $\val _{p(x)}F(x)$, имеющую при любом рациональном решении $F(x)$ исходного уравнения. Алгоритмы применимы как к скалярным уравнениям, так и к системам линейных уравнений первого порядка и основываются на комбинациях обновленных подходов, использованных в более ранних алгоритмах нахождения универсальных знаменателей (Абрамов, Баркату) и границ знаменателей (ванн Хое). Проводится сравнение сложностей представленных алгоритмов. ---- =====Seminar on Computer Algebra, January 20===== //**Wednesday, January 20, at 16.20 in room 780 of VMK of Moscow State University**// ====Construction of Computer Algebra algorithms, based on Theory of Functions Methods==== //Alexey A. Kytmanov (Siberian Federal University)// The first part of the talk is devoted to the algorithm, based on the multidimensional logarithmic residue, for the elimination of unknowns from a system of nonlinear nonalgebraic equations. The second part is devoted to the algorithm of construction of a class of integral representations in certain domains in the multidimensional complex space. Another result of the second part is construction of a class of residues - analogs of the multidimensional logarithmic residue. ---- ====Построение алгоритмов компьютерной алгебры на основе методов теории функций==== //Алексей Александрович Кытманов (Сибирский федеральный университет)// Первая часть доклада посвящена алгоритму исключения неизвестных из систем нелинейных неалгебраических уравнений, основанному на многомерном логарифмическом вычете. Вторая часть посвящена алгоритму построения класса интегральных представлений в областях многомерного комплексного пространства и класса вычетов - аналогов многомерного логарифмического вычета. ----