, Задача 8.
В основном состоянии атома водорода радиальная волновая функция электрона имеет вид:,
где 
- константа; 
- первый боровский радиус. Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра и среднее расстояние электрона от ядра.
Решение.
Плотность вероятности обнаружить электрон в тонком шаровом слое радиуса 
не зависит от углов 
и 
, и выражается формулой 
. Наиболее вероятному расстоянию от ядра до электрона соответствует 
, при котором 
имеет максимум. Для нахождения расстояния, соответствующего максимуму, приравниваем нулю производную от
,
где 
- постоянная. Получим:
.
Находим 
, то есть наиболее вероятное расстояние равно радиусу первой боровской орбиты. Среднее расстояние найдем, пользуясь формулой для нахождения среднего
,
где интегрирование проводится по всему бесконечному объему, а волновая функция нормирована:
.
Получаем формулу для среднего значения радиуса:
;
и условие нормировки
.
Для вычисления интегралов можно воспользоваться табличным интегралом:
.
Из условия нормировки получаем
.
Подставив найденное значение в интеграл для <
>, найдем
.