Комментарии к традиционным экзаменационным вопросам
Раздел II. Квантовая механика
8. Корпускулярно-волновой дуализм материи. Гипотеза де Бройля, ее экспериментальное подтверждение.
Под словом "материя" здесь не имеется в виду философское понятие. Понятия "материя" как основного понятие квантовой теории не существует. Здесь более подходит обычно используемое слово "вещество".
Вещество не является волной в пространстве-времени. Можно говорить о веществе, находящимся в чистом состоянии, как о волне в пространстве конфигураций, которая не имеет непосредственного физического смысла. В общем случае вещество описывается полем (волной) в удвоенном конфигурационном или в фазовом пространстве. Однако об этом вряд ли стоит говорить до введения основных понятий квантовой механики. Значительно полезнее было бы аккуратно определить квантовое состояние, и функцию, описывающую это состояние, имеющую физический смысл и классический аналог (известный студентам). Здесь имеется ввиду матрица плотности $\rho(x,y,t)$ (см. замечания к вопросу 11.)
9. Волны де Бройля, статистический смысл волн де Бройля, свойства волн.
Два вопроса посвященных волнам де Бройля слишком много. Волны де Бройля не относятся к основным понятиям квантовой механики. Более того, они вредны для изучения квантовой физики и приводят к неправильному пониманию физики. Если у нас есть две частицы, даже не взаимодействующие друг с другом, то уже ни в каком смысле нельзя их описывать волнами или волной де Бройля, распространяющимися в реальном (трехмерном) пространстве. Они описываются лишь одной (одной на двоих) волновой функцией (волновым пакетом) в шестимерном (конфигурационном) пространстве. Более того, волна де Бройля не описывает квантового состояния даже одной частицы, так как не является квадратично интегрируемой. Квадратично интегрируемыми будут лишь
некоторые суперпозиции волн де Бройля. Общее (квадратично интегрируемое) решение уравнения Шредингера для свободной частицы имеет вид суперпозиции плоских волн с некоторой квадратично интегрируемой весовой функцией.Упомянуть о волне де Бройля можно в задачах при решении уравнения Шредингера для свободного движения в неограниченном пространстве (на бесконечной прямой). Решением этого уравнения является квадратично интегрируемая функция, являющаяся интегралом (Фурье) по плоским волнам и описывающая волной пакет (суперпозицию волн де Бройля).
Волны де Бройля имеют лишь историческое значение при рождении уравнений Шредингера. Возникнув в 1923 году волны де Бройля к 1926 году уже растеряли всякий физический смысл и научное значение, оставшись лишь как исторический памятник.
10. Соотношения неопределенностей Гейзенберга, их физическое содержание.
Этот вопрос должен быть расположен после вопроса о средних значениях квантовых наблюдаемых. Изучение соотношений неопределенности Гейзенберга до изучения средних значений, дисперсий и среднеквадратичных отклонений квантовых наблюдаемых необоснованно, так как эти соотношения записывается для среднеквадратичных отклонений или дисперсий, а не для загадочных неопределенностей. Средние значения физических величин и дисперсии изучаются даже на первом курсе при освоении теории ошибок и закрепляются при выполнении лабораторных работ. В разделе, посвященном статистической механике, тоже рассматривались средние значения физических величин и их дисперсии. Кроме того, соотношения неопределенности Гейзенберга иногда записывается в неправильном виде, без коэффициента 1/2.
11. Волновая функция, ее свойства. Уравнение Шредингера в стационарной форме, физический смысл входящих величин.
Волновая функция как способ описания (чистого) квантового состояния, не является наглядным. Такой способ описания вводит в заблуждение, что любые состояния квантовых систем, а не только чистые, описываются волновыми функциями.
Чистые состояния являются частным случаем квантовых состояний и менее наглядны, так как волновая функция не соответствует никакому классического понятию, хорошо известному студентам, и не имеет непосредственного физического смысла. Квантовые состояния, в общем случе, описываются функцией, называемой матрицей плотности и имеющей непосредственную физическую интерпретацию. Матрица плотности имеет классический аналог в виде функции распределения, изучаемой в разделе, посвященном статистической механике. Более того, описание состояний с помощью матрицы плотности и уравнений фон Неймана более последовательно и просто.
Теперь об уравнении Шредингера. Оно должно изучаться разделе, посвященном квантовой механике. Но не с этого уравнения надо изучать описание эволюции квантовых состояний. И тем более уравнение Шредингера не должно быть единственным и основным уравнением квантовой динамики. Обязательно должно присутствовать уравнение фон Неймана. Поясним это.
Во-первых, уравнение Шредингера записано для вспомогательной величины - волновой функции $\Psi(x,t)$, не имеющей непосредственного физического смысла. Уравнение фон Неймана записано для функции $\rho(x,x',t)$, называемой матрицей плотности и имеющей физический смысл.
Во-вторых, уравнение Шредингера не имеет классических аналогов и его нельзя получить через квантование какого-либо классического уравнения. Уравнение фон Неймана имеет классический аналог в виде уравнения Лиувилля и связано с этим уравнением процедурой квантования.
В-третьих, уравнение Шредингера, описывает эволюцию только чистого состояния. Уравнение фон Неймана верно как для чистых, так и для смешанных состояний. Отметим, что в общем случае, чистые состояния эволюционируют с течением времени в смешанные состояния. Уравнение Шредингера можно рассматривать как частный случай уравнения фон Неймана, записанного для чистого состояния гамильтоновой (или консервативной) системы.
12. Уравнение Шредингера, применение его к решению задачи "частица в потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками" (одномерный случай). Энергетический спектр частицы.
Это не теоретический вопрос, а задача. Здесь не излагаются основные понятия или законы квантовой механики. Поэтому следует переместить этот материал из экзаменационных вопросов к обязательным экзаменационным задачам. Кроме того, стенки не могут быть бесконечно глубокими.
13. Прохождение частиц через потенциальный барьер полубесконечной ширины, конечной высоты U_0. Энергия частицы E<U_0.
Это не теоретический вопрос, а задача, и её следует переместить к обязательным экзаменационным задачам.
14. Прохождение частиц через потенциальный барьер полубесконечной ширины, конечной высоты U_0. Энергия частицы E>U_0.
Это еще одна задача, оказавшаяся среди теоретических экзаменационных вопросов.
15. Туннельный эффект. Коэффициент прозрачности барьера.
Здесь следовало бы заменить "барьер" на "потенциальный барьер". Кроме того, этот вопрос не отражает основные понятия и законы квантовой механики. Однако он связан с интересным квантовым эффектом. Удивляет, что среди моря важнейших и интереснейших квантовых эффектов выбран только туннельный эффект. И непонятно, почему он оказался в разделе, посвященном основным понятиям квантовой механики. Вообще говоря, этот вопрос может быть перенесен и в другие разделы или к обязательным экзаменационным задачам.
16. Квантово-механический осциллятор.
Видимо здесь следует добавить, что осциллятор является линейным и(или) гармоническим, потому что ангармонический осциллятор обычно не предлагается для обсуждения со студентами. "Квантово-механический" можно заменить на "квантовый", так как квантово-полевые модели не рассматриваются.
Общие замечания к разделу II.
Раздел об основных понятиях квантовой механики закончился. А где же понятие квантовой наблюдаемой? Куда же делось понятие квантового состояния? Где вопросы о квантовании классических наблюдаемых и состояний. Где вопросы о средних значениях наблюдаемых, которым обычно посвящены достаточно много задач. Это смахивает на изложение механики Ньютона без понятий скорости, импульса, энергии, силы и привычной материальной точки.
Из девяти вопросов раздела II всего два посвящены основным понятиям квантовой механики (вопросы 10 и 11). Два почти антинаучных вопроса (вопросы 8 и 9). Пять вопросов фактически являются задачами на решение уравнений Шредингера (вопросы 12-16).